【問題】
数字の間の空いているところにプラスまたはマイナスの記号を入れて式を完成させてください。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1

【補足】
＋と−は何度でも使用することができます。

【解説】
まず、1の前に−の記号を置くことはできないため、1は必ず足されます。
このことから、両辺から1を引くことによって、以下のように式を書き換えることができます。
2 3 4 5 6 7 8 9 = 0
この式について、この数字の前に−をつけるのかを考察します。
数字を加減した結果が0であることから、前に＋が置かれる数字の和と−が置かれる数字の和が等しいことがわかります。
(2+3+4+5+6+7+8+9)÷2=22
より、前に＋（および−）がつく数字はの和は22です。
よって、2〜9までを使って和が22になる数字の組を求めればよいことになります。
問題では任意の1組を探し出せば十分ですが、以下では全ての組を探し出してみました。
この場合の数は、2〜9の8個の数字を使うため、2^8=256通りもあります。
そのため、「和を偶数にするには、奇数を偶数回加えることが必要十分である」という性質を用いると計算が楽になります。
求める和の22は偶数であることから、この性質を適用できます。
用いる数字である2〜9には(3,5,7,9)の4個の奇数があります。
従って、(3,5,7,9)から1個または3個の数字を選択する必要があります。
以下では、最大の数である9の選択によって場合分けしています。

1. 9を選択する場合
   9は奇数であることから、(3,5,7)から1個または3個を選択する必要があります。
   しかし、(3,5,7)から3個全てを選択すると
   3+5+7+9=24 (>22)
   となり求める和22を越えてしまうため、3個全てを選ぶことはできません。
   よって、(3,5,7)から1個のみを選択することになり、奇数の選択は(9,7),(9,5),(9,3)の3通りが考えられます。
   
   1. (9,7)を選択する場合
      22-(9+7)=6
      より、残った偶数(2,4,6,8)を使用して6を作ります。
      これは(2,4)と(6)の2通りあります。
      よって、(2,4,7,9),(6,7,9)が求める組となります。
      
   2. (9,5)を選択する場合
      22-(9+5)=8
      より、(2,4,6,8)を使用して8を作ります。
      これは、(2,6)と(8)の2通りあります。
      よって、(2,5,6,9),(5,8,9)が求める組となります。
      
   3. (9,3)を選択した場合
      22-(9+3)=10
      より、(2,4,6,8)を使用して10を作ります。
      これには、(2,8)と(4,6)の2通りあります。
      よって、(2,3,8,9),(3,4,6,9)が求める組となります。
      
2. 9を選択しない場合
   選択しない9は奇数であるから、(3,5,7)から0個または2個を選択する必要があります。
   (3,5,7)を0個選択（1個も選択しない）すると仮定すると、
   2+4+6+8=20 (<22)
   より、全ての偶数の合計が22よりも小さくなってしまうため、奇数を使用しないと22にするのは不可能です。
   よって、(3,5,7)から2個を選択することになり、これには(3,5),(3,7),(5,7)の3通りあります。
   
   1. (3,5)を選択する場合
      22-(3+5)=14
      より、(2,4,6,8)を使用して14を作ります。
      2+4+6=12(<14)より、8を使用しなければならないことを利用して計算すると、(2,4,6),(6,8)の2通りあることがわかります。
      よって、(2,3,4,5,8),(3,5,6,8)が求める組となります。
      
   2. (3,7)を選択する場合
      22-(3+7)=12
      より、(2,4,6,8)を使用して12を作ります。
      これは、(2,4,6),(4,8)の2通りあります。
      よって、(2,3,4,6,7),(3,4,7,8)が求める組となります。
      
   3. (5,7)を選択する場合
      22-(5+7)=10
      より、(2,4,6,8)を使用して10を作ります。
      これには、(2,8)と(4,6)の2通りあります。
      よって、(2,5,7,8),(4,5,6,7)が求める組となります。
      

以上をまとめると、 (2,4,7,9),(6,7,9),(2,5,6,9),(5,8,9),(2,3,8,9),(3,4,6,9),(2,3,4,5,8),(3,5,6,8),(2,3,4,6,7),(3,4,7,8),(2,5,7,8),(4,5,6,7) が2〜9までを使って和が22になる数字の全ての組です。
ゆえに、答えは以下の12通りあります。
1 + 2 - 3 + 4 - 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 1
1 - 2 - 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 + 9 = 1
1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1
1 - 2 - 3 - 4 + 5 - 6 - 7 + 8 + 9 = 1
1 + 2 + 3 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 + 9 = 1
1 - 2 + 3 + 4 - 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1
1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1
1 - 2 + 3 - 4 + 5 + 6 - 7 + 8 - 9 = 1
1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1
1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 = 1
1 + 2 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 = 1
1 - 2 - 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1